การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปของ ผลคูณ เท่านั้น โดย ผลคูณที่ได้จะต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนามตั้งต้น

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนเครื่องหมาย ✔ หน้าขอที่เป็นการแยกตัวประกอบ และ ทำเครื่องหมาย ✖ หน้าข้อที่ไม่เป็นการแยกตัวประกอบ

1) x² (x + 1)

2) (x + 1)(x – 3)

3) (x² + 1)(2x + 3)

4) (x + 10)(x + 2)(x + 3) + 1

5) x³ – x + 1

6) 2x² – 2x + 5

7) (3x⁴ + 2x² – 6) – 9

8) (x² + 2x + 1) – (2x² + x – 6)

9) (y³ + 2y² – 2y + 1) y

10) (4x³ – 2x² + x – 1)(2x + 3)

เฉลย

✔ 1) x² (x + 1)

✔ 2) (x + 1)(x – 3)

✔ 3) (x² + 1)(2x + 3)

✖ 4) (x + 10)(x + 2)(x + 3) + 1

✖ 5) x³ – x + 1

✖ 6) 2x² – 2x + 5

✖ 7) (3x⁴ + 2x² – 6) – 9

✖ 8) (x² + 2x + 1) – (2x² + x – 6)

✔ 9) (y³ + 2y² – 2y + 1) y

✔ 10) (4x³ – 2x² + x – 1)(2x + 3)

การแยกตัวประกอบ เป็น พื้นฐานความรู้วิชาคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด โดยเฉพาะในช่วงชั้น มัธยม ม.1 - ม.6 โดยมีทั้งหมด 8 วิธี ดังนี้

1. การดึงตัวร่วม

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบโดยวิธีดึงตัวร่วม

2. แยกสามเทอมเป็นสองวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบโดยวิธีทำเป็นสองวงเล็บ

1) x² + 5x + 6 = (x + a)(x + b)

เมื่อ a และ b คือ จำนวนที่ได้จากการแยกตัวประกอบของ 6 โดยที่ ab = 6 และ a + b = 5 ซึ่งจะเห็นว่า a = 3 และ b = 2 ดังนั้นตัวประกอบที่สอดคล้องกับพหุนามตั้งต้น คือ

x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

วิธีตรวจสอบว่า ตัวประกอบที่แยกได้แล้ว ถูกต้องหรือไม่ ให้ทำดังนี้

วิธีที่ 1 ตรวจคำตอบโดยการคูณแจกแจง แล้วดูว่าผลคูณมีค่าเท่ากับพหุนามตัวตั้งหรือไม่

หากผลคูณมีค่าเท่ากับ โจทย์พหุนามตัวตั้ง ถือว่าการแยกตัวประกอบนั้น ถูกต้อง

วิธีที่ 2 ตรวจสอบพจน์กลาง โดย..

ขั้นที่ 1 หาผลคูณของจำนวน ที่อยู่ใกล้กัน

ขั้นที่ 2 หาผลคูณของจำนวน ที่อยู่ไกลกัน

ขั้นที่ 3 หาผลบวกของขั้นที่ 1 และ 2

แล้วตรวจสอบดูว่ามีค่าเท่ากับ พจน์กลางของพหุนามตัวตั้งหรือไม่ ถ้ามีค่าเท่ากัน ก็ถือว่า การแยกตัวประกอบนั้นถูกต้อง

หากมีความเข้าใจเบื้องต้นแล้ว อยากให้น้อง ๆ ลองทำโจทย์ต่อไปนี้นะครับ

2) x² – 7x + 12

3) x² + 2x – 8

4) x² – 2x – 8

5) x² + 2ax – 7bx – 14ab

เฉลยคำตอบ

2) x² – 7x + 12 = (x+3)(x+4)

3) x² + 2x – 8 = (x+4)(x-2)

4) x² – 2x – 8 = (x-4)(x+2)

5) x² + 2ax – 7bx – 14ab = x(x+2a)-7b(x+2a) จัดรูปโดยแบ่งเป็น 2 กลุ่มแล้วดึงตัวร่วม

= (x+2a)(x-7b) ดึง (x+2a) เป็นตัวร่วม

3. ผลต่างของกำลังสอง

สูตรแยกตัวประกอบ ผลต่างของกำลังสอง ให้เป็นผลคูณ เป็นสูตรที่ใช้มากที่สุด วิธีการจดจำสูตรนี้ ใหท่องว่า (หน้ากำลังสอง ลบ หลังกำลังสอง = หน้าลบหลัง คูณ หน้าบวกหลัง)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง

1) x² – 9

2) 4x² – 9y²

3) x³y – y³x

4) x⁴ – y⁴

5) (x + 1)² – 36y²

เฉลย

1) x² – 9 = x² – 3²

= (x-3)(x+3)

2) 4x² – 9y²= (2x)² – (3y)²

= (2x-3y)(2x+3y)

3) x³y – y³x = xy(x²-y²)

= xy(x-y)(x+y)

4) x⁴ – y⁴ = (x²)² – (y²)²

= (x²)² – (y²)²

= (x² + y²)(x² – y²)

=(x² + y²)(x – y)(x+y)

5) (x + 1)² – 36y² = (x + 1)² – (6y)²

= (x + 1– 6y)(x + 1 + 6y)

^{4. กำลังสองสมบูรณ์}

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์

1) x² + 6x + 5

2) x² + 4x + 1

3) 2x² + 4x + 1

4) – 4x² + 8x + 20

5) – 2x² + x + 7

^เฉลย

1) x² + 6x + 5 =

2) x² + 4x + 1 =

3) 2x² + 4x + 1 =

4) – 4x² + 8x + 20 =

5) – 2x² + x + 7 =

^{5. ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม}

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1) x³ + 27

2) 8x³ + 1

3) 27x³ + 64

4) x³ – 216

5) 1000 – 216x³

6) (7x – 2)³ – (6x + 9)³

^เฉลย

1) x³ + 27 = x³ + 3³

= (x+3)(x²– 3x + 3²)

= (x+3)(x²– 3x + 9)

2) 8x³ + 1 = (2x)³ + 1³

= (2x+1) [(2x)² – (2x)(1) + 1²]

= (2x+1)(8x² –2x + 1)

3) 27x³ + 64 = (3x)³ + 4³

= (3x + 4) [(3x)² – (3x)(4) + 4²]

= (3x + 4) (9x² – 12x + 16)

4) x³ – 216 = x³ – 6³

= (x – 6)(x²+ 6x +6²)

= (x – 6)(x²+ 6x + 36)

5) 1000 – 216x³ = 10³ – (6x)³

= (10 – 6x) [ 10² + (10)(6x) + (6x)² ]

= (10 – 6x) (100 + 60x + 36x² )

6) (7x – 2)³ – (6x + 9)³ = [(7x – 2) – (6x + 9)] [(7x – 2)² + (7x – 2) (6x + 9) + (6x + 9)²]

= (x – 11)(40x² + 173x + 67)

6. กำลังสามสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 4 จงกระจายพหุนามต่อไปนี้

1) (x + 3)³

2) (2x + 1)³

3) (6 –x)³

เฉลย

1) (x + 3)³ = x³+ 3x²(3) + 3x(3²) + 3³

= x³+ 9x² + 27x + 27

2) (2x + 1)³ = (2x)³ + 3(2x)²(1) + 3(2x)(1²) + 1³

= 8x³ + 12x² + 6x + 1

3) (6 –x)³ = 6³ – 3(6²)x + 3(6)x² – x³

= 216 – 108x + 18x² – x³